François Costa étudie tout d’abord le violon moderne au CNR de Marseille avec Jean Ter Merguerian.Il y obtient une Médaille d’or couronnée par le Prix de la Ville ainsi que les encouragements du violoniste Zino Francescatti.

Parallèlement à une activité de concerts en formation orchestrale et chambriste, il enseigne la pratique de son instrument au conservatoire du VI^ème arrondissement de Paris ainsi qu’au CRR de Brest. Il se forme ensuite au violon baroque avec Patrick Cohen-Akenine et se voit décerner en 2004 le Diplôme National d’Études Supérieures du CNSMD de Lyon dans la classe d’Odile Edouard.

Il a participé à des productions avec des formations telles que Le Concert Spirituel (Hervé Niquet), Stradivaria (Daniel Cuiller), Les Folies Françoises (Patrick Cohen-Akénine), Les Passions Baroque de Montauban (Jean-Marc Andrieu), Les Nouveaux caractères (Sébastien d’Hérin) Insula Orchestra (Laurence Equilbey). Avec La Simphonie du Marais (Hugo Reyne), il participe à plusieurs enregistrements en tant que premier violon.

Il fonde et dirige l’ensemble Les ArcheTypes et consacre une partie de son temps à la restitution et édition de manuscrits musicaux. Il est titulaire du Diplôme d’État de musique ancienne.